Fonctions polynomiales de second degré _fonctions homographiques
I. Fonctions polynomiales de second degré :
Définition :
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Soient ( a,b;et;c ) des nombres réels et non
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1. Les variations des fonctions : ( f(x )=ax² )
Soit ( f ) une fonction numérique telle que : ( f(x
)=ax² ) avec ( aneq 0 ) .
On a ( f ) est une fonction polynomiale, donc ( D_f =mathbb{R}
)
)
Alors : si ( -xin mathbb{R} )alors (
xin mathbb{R} ):
xin mathbb{R} ):
Et ( f(-x )=a(-x)²=ax²=f(x ) )
Par suite est une fonction paire,
Donc il suffit d’étudier la monotonie
de sur l’intervalle (left [0 ; +infty right [ ) .
Donc il suffit d’étudier la monotonie
de sur l’intervalle (left [0 ; +infty right [ ) .
Soient ( x_1;et;x_2 ) deux éléments distincts de l’intervalle (left [0
; +infty right [ ) .
; +infty right [ ) .
On a : ( T( x_1, x_2) = frac{f(x_1 )-f(x_2 )}{x_1-x_2} =
frac{a(x_1 )²-a(x_2 )²}{x_1-x_2} \ = frac{a((x_1 )²-(x_2 )²)}{x_1-x_2} =
frac{a(x_1-x_2 )(x_1 +x_2) }{x_1-x_2} \ = a(x_1+x_2) )
Donc : ( T( x_1, x_2) = a(x_1+x_2) )
1èr cas : si ( a>0 )
On a : ( x_1;et;x_2in left [0 ; +infty right [ )
Et on a ( a>0 ) : donc sur (left [0 ; +infty
right [ ) : ( T( x_1, x_2) = a(x_1+x_2) >0
)
Alors ( f ) est une fonction strictement croissante sur
(left [0 ; +infty right [ )
Et puisque ( f ) est une fonction paire alors est strictement
décroissante sur (left ]-infty ; 0 right ] ) .
Tableau de variations de ( f ) est :
2eme cas : si ( a>0 )
De la même méthode, on trouve que ( f ) est une fonction
strictement croissante sur (left ]-infty ; 0 right ]
) et strictement décroissante sur (left [0 ; +infty
right [ ).
strictement croissante sur (left ]-infty ; 0 right ]
) et strictement décroissante sur (left [0 ; +infty
right [ ).
Tableau de variations de ( f ) est :
2. Représentation graphique de (
f:xrightarrow ax² )
Définition :
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Dans un repère orthonormé ( (O,I,J) ) la courbe représentative Exemple :
si ( a>0 ) figire1 et si ( a<0 ) figure 2
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figure1 figure2
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