Série d’exercices : Fonctions linéaires et affines ≡
Exercice 1
Parmi les fonctions suivantes, indiquer celles qui sont linéaires : \( f(x)=\frac{x}{4} \) ; \( g(x)=3\sqrt{x} \) ; \( h(x)=8x-3x \) ; \( i(x)=2x+\frac{3}{2}x \) \( l(x)=2x(x-4)-2x^2 \) ; \( m(x)=4x-3 \) ; \( n(x)=\frac{7}{x} \)
✔ Correction détaillée
Une fonction linéaire est de la forme \( ax \). ✔ \( f(x)=\frac{x}{4} \) → linéaire ❌ \( g(x)=3\sqrt{x} \) → non linéaire ✔ \( h(x)=8x-3x=5x \) → linéaire ✔ \( i(x)=2x+\frac{3}{2}x=\frac{7}{2}x \) ✔ \( l(x)=2x(x-4)-2x^2=-8x \) → linéaire ❌ \( m(x)=4x-3 \) → affine ❌ \( n(x)=\frac{7}{x} \)
Exercice 2
Soit \( f(x)=3x \)
- Calculer : \( f(5), f(0), f(100), f(10), f(-\frac{5}{2}) \)
- Quel est le nombre dont l’image est −36 ?
✔ Correction
\( f(5)=15 \) ; \( f(0)=0 \) ; \( f(100)=300 \) ; \( f(10)=30 \) \( f(-\frac{5}{2})=-\frac{15}{2} \) \( 3x=-36 ⇒ x=-12 \)
Exercice 3
Soit \( g(x)=-8x \)
- Quelle est l’image de −7 par g ?
- Quelle est l’image de \( \frac{\sqrt2}{2} \) par g ?
- Calculer : \( g(\frac{1}{-16}) \)
- Quel est le nombre dont l’image est −8 ?
- Quel est l’antécédent de \( -\frac{11}{6} \) ?
✔ Correction détaillée
\( g(-7)=56 \)
\( g(\frac{\sqrt2}{2})=-4\sqrt2 \)
\( g(-\frac{1}{16})=\frac{1}{2} \)
\( -8x=-8 ⇒ x=1 \)
\( -8x=-\frac{11}{6} ⇒ x=\frac{11}{48} \)
Exercice 4
Déterminer les fonctions linéaires \( f ; g ; h \) tels que :
- \( f(9)=-18 \)
- \( g(-3)=-15 \)
- \( h(3)=2 \)
- \( l(-\frac{3}{4})=9 \)
✔ Correction détaillée
\( f(x)=-2x \)
\( g(x)=5x \)
\( h(x)=\frac{2}{3}x \)
\( l(x)=-12x \)
Exercice 5
Soit \( f \) une fonction linéaire définie par : \( f(7)=-21 \)
- Déterminer l’expression de \( f(x) \)
- Calculer l’image de 1 par la fonction f ?
- Quel est le nombre dont l’image est 24 ?
- Tracer \( (C_f) \)
✔ Correction détaillée
\( a=-3 ⇒ f(x)=-3x \)
\( f(1)=-3 \)
\( -3x=24 ⇒ x=-8 \)
Graphique :
Exercice 6
f une fonction linéaire et (D) sa représentation graphique.
\( M(-2;3) \in (D) \)
- Déterminer le coefficient de f
- Déterminer la fonction f
- Tracer la droite (D)
✔ Correction détaillée
\( a=\frac{3}{-2}=-\frac{3}{2} \)
\( f(x)=-\frac{3}{2}x \)
Graphique :
Exercice 7
Représenter graphiquement les fonctions :
- \( f(x)=3x \)
- \( g(x)=-2x \)
- \( h(x)=6x \)
✔ Correction
Graphiques :
Exercice 8
La fonction linéaire \( f \) est représentée par la droite (D). 
- Déterminer graphiquement \( f(3) \) et \( f(-1) \).
- Déterminer graphiquement l’antécédent de 3 par \( f \).
- Déterminer le coefficient de \( f \).
- Déterminer l’expression de la fonction \( f \).
✔ Correction détaillée
Depuis le graphique : \( f(3)=3 \) et \( f(-1)=-1 \) Antécédent de 3 est 3 Coefficient directeur \( a=1 \) Donc \( f(x)=x \)
Exercice 9
Parmi les fonctions suivantes, indiquer celles qui sont affines : \( f(x)=-3x+5 \) ; \( g(x)=(2-\sqrt5)x+3 \) ; \( h(x)=4-x \) \( l(x)=\frac{2x+7}{3} \) ; \( j(x)=x(x-1)+1 \)
✔ Correction
Affines = \( ax+b \) ✔ \( -3x+5 \) ✔ \( (2-\sqrt5)x+3 \) ✔ \( 4-x \) ✔ \( \frac{2x+7}{3} \) ❌ \( x(x-1)+1 \)
Exercice 10
Considérons la fonction affine telle que : \( f(x)=-2x+3 \)
- Calculer : \( f(-2), f(0), f(-10), f(4), f(-\frac{1}{3}) \).
- Quel est le nombre dont l’image est 27 par la fonction \( f \) ?
✔ Correction
\( f(-2)=7 \) \( f(0)=3 \) \( f(-10)=23 \) \( f(4)=-5 \) \( f(-\frac{1}{3})=\frac{11}{3} \) \( -2x+3=27 ⇒ x=-12 \)
Exercice 11
Soit \( g(x)=5x+2 \)
- Quelle est l’image de −13 par \( g \) ?
- Quelle est l’image de \( \frac{7}{2} \) par \( g \) ?
- Calculer \( g(-\frac{2}{5}) \).
- Quel est le nombre dont l’image est 2027 par la fonction \( g \) ?
- Quel est l’antécédent de 3,1 par \( g \) ?
✔ Correction
\( g(-13)=-63 \) \( g(\frac{7}{2})=\frac{39}{2} \) \( g(-\frac{2}{5})=0 \) \( 5x+2=2027 ⇒ x=405 \) \( 5x+2=3.1 ⇒ x=0.22 \)
Exercice 12
Déterminer les fonctions affines \( f,g,h \) tels que :
- \( f(3)=1 \) et \( f(5)=9 \)
- \( g(3)=9 \) et \( g(-2)=-11 \)
- \( h(2)=-5 \) et \( h(5)=-14 \)
✔ Correction
\( f(x)=4x-11 \) \( g(x)=4x-3 \) \( h(x)=-3x+1 \)
Exercice 13
Soit \( f \) la fonction affine par : \( f(-1)=2 \) et \( f(0)=-1 \)
- Déterminer l’expression de \( f(x) \).
- Calculer l’image de 3 par la fonction \( f \).
✔ Correction
\( a=-3 , b=-1 ⇒ f(x)=-3x-1 \) \( f(3)=-10 \)