Soit un rectangle \(ABCD\) tel que : \(AB=6\) et \(BC=4\)

Calculer :

1. \( \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} \)
2. \( \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD} \)
3. \( \overrightarrow{DC}\cdot\overrightarrow{DA} \)

Soit \(ABC\) un triangle équilatéral de côté \(5\).

Calculer : \( \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} \)

Soient \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) deux vecteurs tels que :

\( ||\vec{u}||=||\vec{v}||=3\sqrt2 \) et \( ||\vec{u}-\vec{v}||=2 \)

1. Montrer que : \( \vec{u}\cdot\vec{v}=7 \)
2. Calculer : \( ||\vec{u}+\vec{v}|| \)
3. On pose :
   
   \( \vec{u’}=\vec{u}-2\vec{v} \) et \( \vec{v’}=3\vec{u}-\vec{v} \)
   
   Montrer que \( \vec{u’} \) et \( \vec{v’} \) sont orthogonaux.

Dans un triangle \(EFG\), on donne :

\( EF=6,\quad EG=7,\quad FG=5 \)

Calculer : \( \overrightarrow{GE}\cdot\overrightarrow{GF} \)

Soit \(ABC\) un triangle tel que :

\( AB=\sqrt{13},\quad AC=3,\quad BC=4 \)

1. Calculer : \( \cos(\widehat{BAC}) \)
2. Déduire : \( \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} \)
3. On pose : \( \overrightarrow{AM} = \frac12\overrightarrow{AB} + \frac13\overrightarrow{AC} \)
   
   Calculer : \( \overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{AC} \)

Soit \(ABC\) un triangle et \(I\) le milieu du segment \([BC]\).

On donne : \( IA=5,\quad IB=IC=3 \)

1. Calculer : \( AB^2+AC^2 \)
2. Déduire : \( \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} \)

Soit \(ABC\) un triangle tel que :

\( AB=2\sqrt5,\quad AC=4 \) et \( \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=8 \)

1. Calculer : \( \cos(\widehat{BAC}) \)
2. Déterminer : \( BC \)
3. Soit \(I\) le milieu de \([BC]\).
   Calculer : \( AI \)

Soit \(ABC\) un triangle tel que :

\( AB=7,\quad AC=5,\quad BC=8 \)

1. Calculer : \( \cos(\widehat{BAC}) \)
2. Déduire : \( \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} \)
3. Soit \(H\) le projeté orthogonal de \(A\) sur \((BC)\).
   Calculer : \( BH \)

Soient \(A\) et \(B\) deux points du plan et \(I\) le milieu du segment \([AB]\).

Soit \(M\) un point du plan.

1. Montrer que : \( MA^2+MB^2 = 2MI^2+\frac12AB^2 \)
2. Montrer que : \( MA^2-MB^2 = 2\overrightarrow{IM}\cdot\overrightarrow{AB} \)
3. Montrer que : \( \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = MI^2-\frac14AB^2 \)

Soient \(A\) et \(B\) deux points du plan tels que : \( AB=12\,cm \)

On peut utiliser les résultats de l’exercice précédent.

1. Déterminer l’ensemble des points \(M\) tels que : \( \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=20 \)
2. Déterminer l’ensemble des points \(M\) tels que : \( MA^2+MB^2=90 \)
3. Déterminer l’ensemble des points \(M\) tels que : \( MA^2-MB^2=0 \)
4. Déterminer l’ensemble des points \(M\) tels que : \( \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{AB}=24 \)

Soit \(ABC\) un triangle tel que :

\( AB=9,\quad AC=7,\quad BC=8 \)

1. Calculer : \( \cos(\widehat{BAC}) \)
2. Déduire : \( \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} \)
3. Calculer l’angle : \( \widehat{BAC} \)

Soient \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) deux vecteurs tels que :

\( ||\vec{u}||=5 \), \( ||\vec{v}||=4 \) et \( \vec{u}\cdot\vec{v}=10 \)

1. Calculer : \( \cos(\vec{u},\vec{v}) \)
2. Calculer : \( ||\vec{u}+\vec{v}|| \)
3. Calculer : \( ||\vec{u}-\vec{v}|| \)

Soit un carré \(ABCD\) de côté \(6\).

1. Calculer : \( \overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD} \)
2. Calculer : \( ||\overrightarrow{AC}|| \)
3. Déduire que les diagonales sont perpendiculaires.

Soit \(ABC\) un triangle rectangle en \(A\) tel que :

\( AB=6 \) et \( AC=8 \)

1. Calculer : \( BC \)
2. Calculer : \( \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} \)
3. Soit \(M\) tel que : \( \overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} \)
   
   Calculer : \( ||\overrightarrow{AM}|| \)

Soient \(A\) et \(B\) deux points tels que : \( AB=14 \) et \(I\) le milieu de \([AB]\).

Soit \(M\) un point du plan vérifiant :

\( MA^2+MB^2=296 \)

1. Montrer que : \( MI=7 \)
2. Déterminer l’ensemble des points \(M\).
3. Préciser la nature géométrique obtenue.