Fonctions linéaires et affines – 3ème Année Collège ≡
Découvrez un résumé complet sur la fonction affine et la fonction linéaire avec des explications simples, des propriétés essentielles et des applications corrigées adaptées aux élèves du collège. Cette leçon de mathématiques vous aide à comprendre les notions de fonctions linéaires et affines ainsi qu’à résoudre facilement les exercices.
📅 05-05-2026 | 👨🏫 Prof El MOUDENE HASSAN | 📍 Centre Khalil
1. Tableau comparatif ≡
| Expression | Coefficient $a$ | Graph $(x;y)$ |
|---|---|---|
| Linéaire $b=0$ $f(x) = ax$ $\langle y = ax \rangle$ | $a = \dfrac{f(x)}{x}$ | Droite passant par l’origine
|
| Affine $f(x) = ax + b$ $\langle y = ax + b \rangle$ | $a = \dfrac{f(x_2) – f(x_1)}{x_2 – x_1}$ | Droite coupant l’axe des ordonnées en $b$
|
2. Affines – Coefficient ≡
$f(x) = 3x – 5 \longrightarrow a = 3$
$g : x \longmapsto 7x + 2 \longrightarrow a = 7$
$h(x) = \dfrac{3}{7}x – 19 \longrightarrow a = \dfrac{3}{7}$
$g(x) = \dfrac{x}{8} + 1 = \dfrac{1}{8}x + 1 \longrightarrow a = \dfrac{1}{8}$
$L(x) = x\sqrt{2} + \sqrt{5} \longrightarrow a = \sqrt{2}$
3. Image ≡
Exemple: $f(x) = 3x – 1$
Question: Quelle est l’image de 1 ?
$$ \begin{aligned} f(x) &= 3x – 1 \\ f(1) &= 3 \times 1 – 1 \\ &= 3 – 1 \\ &= 2 \end{aligned} $$
Donc 2 est l’image de 1 par $f$.
4. Antécédent ≡
Question: Antécédent de 11 par $f$ ?
Soit: $f(x) = 11$
$$ \begin{aligned} 3x – 1 &= 11 \\ 3x &= 11 + 1 \\ 3x &= 12 \\ x &= \frac{12}{3} = 4 \end{aligned} $$
Donc 4 est l’antécédent de 11 par $f$.
5. Courbe ≡
Exemple 1: $f(x) = 5x – 2$
| $x$ | 0 | 1 |
| $y = f(x)$ | -2 | 3 |
| $(x;y)$ | (0;-2) | (1;3) |
Exemple 2: $h(x) = \dfrac{3}{4}x + 1$
| $x$ | 0 | 4 |
| $y = h(x)$ | 1 | 4 |
| $(x;y)$ | (0;1) | (4;4) |
Calcul: $h(4) = \dfrac{3}{4} \times 4 + 1 = 3 + 1 = 4$
6. Application ≡
On considère les fonctions: $f(x) = -5x + 7$ et $g(x) = \dfrac{3}{4}x – 6$
- Quel est le coefficient de $f$ et de $g$ ?
- Calculer les images de: 1; 3; 10; $\dfrac{1}{2}$ et $\sqrt{3}$ par $f$
- Calculer les images de: -4; 3; $\dfrac{3}{2}$; $-\sqrt{2}$; $\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ par $g$
- Calculer $g(-1)$; $f(0)$; $f(\sqrt{2})$; $g\left(\dfrac{8}{3}\right)$
- Quel est l’antécédent de 8 par $f$ ?
- Quel est l’antécédent de 0 par $g$ ?
- Représenter $f$ et $g$ dans un repère.
7. Correction de l’Application ≡
1) Coefficients :
Pour $f(x) = -5x + 7 \Longrightarrow a_f = -5$
Pour $g(x) = \dfrac{3}{4}x – 6 \Longrightarrow a_g = \dfrac{3}{4}$
2) a) Images par $f$ :
$f(1) = -5(1) + 7 = -5 + 7 = 2$
$f(3) = -5(3) + 7 = -15 + 7 = -8$
$f(10) = -5(10) + 7 = -50 + 7 = -43$
$f\left(\dfrac{1}{2}\right) = -5\left(\dfrac{1}{2}\right) + 7 = -\dfrac{5}{2} + 7 = \dfrac{9}{2}$
$f(\sqrt{3}) = -5\sqrt{3} + 7 = 7 – 5\sqrt{3}$
2) b) Images par $g$ :
$g(-4) = \dfrac{3}{4}(-4) – 6 = -3 – 6 = -9$
$g(3) = \dfrac{3}{4}(3) – 6 = \dfrac{9}{4} – 6 = -\dfrac{15}{4}$
$g\left(\dfrac{3}{2}\right) = \dfrac{3}{4}\left(\dfrac{3}{2}\right) – 6 = \dfrac{9}{8} – 6 = -\dfrac{39}{8}$
$g(-\sqrt{2}) = \dfrac{3}{4}(-\sqrt{2}) – 6 = -\dfrac{3\sqrt{2}}{4} – 6$
$g\left(\dfrac{\sqrt{5}}{2}\right) = \dfrac{3}{4}\left(\dfrac{\sqrt{5}}{2}\right) – 6 = \dfrac{3\sqrt{5}}{8} – 6$
2) c) Calculs :
$g(-1) = \dfrac{3}{4}(-1) – 6 = -\dfrac{3}{4} – 6 = -\dfrac{27}{4}$
$f(0) = -5(0) + 7 = 7$
$f(\sqrt{2}) = -5\sqrt{2} + 7 = 7 – 5\sqrt{2}$
$g\left(\dfrac{8}{3}\right) = \dfrac{3}{4}\left(\dfrac{8}{3}\right) – 6 = 2 – 6 = -4$
3) a) Antécédent de 8 par $f$ :
$$ \begin{aligned} f(x) &= 8 \\ -5x + 7 &= 8 \\ -5x &= 8 – 7 \\ -5x &= 1 \\ x &= -\dfrac{1}{5} \end{aligned} $$
3) b) Antécédent de 0 par $g$ :
$$ \begin{aligned} g(x) &= 0 \\ \dfrac{3}{4}x – 6 &= 0 \\ \dfrac{3}{4}x &= 6 \\ x &= 6 \times \dfrac{4}{3} = 8 \end{aligned} $$
4) Représentation graphique :
Pour $f(x) = -5x + 7$ : on place les points $(0;7)$ et $(1;2)$ puis on trace la droite $(\mathcal{E}_f)$.
Pour $g(x) = \dfrac{3}{4}x – 6$ : on place les points $(0;-6)$ et $(8;0)$ puis on trace la droite $(\mathcal{E}_g)$.
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