correction-regionale-maths-3ac-casablanca-2025 PDF + Vidéo | تصحيح الجهوي رياضيات 3AC

1) $9x – 4 = 3x – 2$ $9x – 3x = -2 + 4$ $6x = 2$ $x = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

2a) $(x-1)(x-2)=x^2-2x-x+2$ $=x^2-3x+2$

2b) $(x-1)(x-2)=0$ $x-1=0 \quad ou \quad x-2=0$ $x=1 \quad ou \quad x=2$

3) $6x + 1 > 4x – 3$ $6x – 4x > -3 -1$ $2x > -4$ $x > -2$

4) $\begin{cases} x+y=40 \\ 2x+5y=155 \end{cases}$ De la première équation : $x = 40-y$ On remplace dans la deuxième équation : $2(40-y)+5y=155$ $80-2y+5y=155$ $3y=155-80$ $3y=75$ $y=25$ Ensuite : $x=40-25$ $x=15$ Donc la solution du système est : $\boxed{(15,25)}$

5) Choix des inconnues :   Soit : $x : \text{ nombre de billets de }20DH$ $y : \text{ nombre de billets de }50DH$   Mise en système et résolution : $\begin{cases} x+y=40 \\ 20x+50y=1550 \end{cases}$ On simplifie la deuxième équation par 10 : $\begin{cases} x+y=40 \\ 2x+5y=155 \end{cases}$ Or nous avons déjà résolu ce système : $x=15 \quad ; \quad y=25$   Retour au problème : $\boxed{15 \text{ billets de }20DH}$ $\boxed{25 \text{ billets de }50DH}$

1) Les coordonnées des points sont : $A(-1;1) \quad ; \quad B(1;2) \quad ; \quad C(5;4)$ Ces points sont placés dans le repère orthonormé \((O;I;J)\).

2) On sait que le milieu du segment \([BC]\) est : $M\left(\frac{x_B+x_C}{2};\frac{y_B+y_C}{2}\right)$ Donc : $M\left(\frac{1+5}{2};\frac{2+4}{2}\right)$ $M(3;3)$

3) On a : $\overrightarrow{AB}(x_B-x_A \ ;\ y_B-y_A)$ Donc : $\overrightarrow{AB}(1-(-1)\ ;\ 2-1)$ $\overrightarrow{AB}(2;1)$

4a) L’équation d’une droite est de la forme : $y=ax+b$ Le coefficient directeur de \((AB)\) est : $a=\frac{2-1}{1-(-1)}$ $a=\frac{1}{2}$ Donc : $y=\frac12x+b$ Comme le point \(B(1;2)\) appartient à la droite : $2=\frac12 \times 1+b$ $2=\frac12+b$ $b=\frac32$ Donc l’équation réduite de \((AB)\) est : $\boxed{y=\frac12x+\frac32}$

4b) Vérifions si le point \(C(5;4)\) appartient à la droite : $y=\frac12x+\frac32$ On remplace \(x=5\) : $y=\frac12 \times 5+\frac32$ $y=\frac52+\frac32$ $y=\frac82$ $y=4$ Donc le point \(C\) appartient à la droite \((AB)\). Ainsi les points : $A \quad ; \quad B \quad ; \quad C$ sont alignés.

5a) La droite \((D)\) a pour équation : $y=-2x+4$ Son coefficient directeur est : $a’=-2$ Or le coefficient directeur de \((AB)\) est : $a=\frac12$ On calcule : $a \times a’=\frac12 \times (-2)$ $a \times a’=-1$ Donc les deux droites : $ (D) \quad \text{et} \quad (AB) $ sont perpendiculaires.

5b) Pour tracer la droite \((D)\) : $y=-2x+4$ On choisit deux points : Pour \(x=0\) : $y=4$ Donc le point : $(0;4)$ Pour \(x=2\) : $y=-2 \times 2 +4$ $y=0$ Donc le point : $(2;0)$ La droite \((D)\) passe donc par : $ (0;4) \quad \text{et} \quad (2;0) $

1) Le mode d’une série statistique est la valeur ayant le plus grand effectif.   Dans le tableau : $10 \rightarrow 8 \text{ joueurs}$ est le plus grand effectif.   Donc le mode de cette série statistique est : $\boxed{10}$

2) On a : $N=25$ La médiane est la valeur du terme : $\frac{25+1}{2}=13$ Donc la médiane est le 13ème terme.   Calculons les effectifs cumulés :  

Âge	10	11	12	13	14	15	16
Effectif cumulé	8	14	16	17	21	24	25

  Le 13ème terme appartient à la valeur : $11$   Donc la médiane est : $\boxed{11}$

3) La moyenne arithmétique est : $\bar{x}=\frac{\sum x_i n_i}{N}$   On calcule : $10 \times 8 = 80$ $11 \times 6 = 66$ $12 \times 2 = 24$ $13 \times 1 = 13$ $14 \times 4 = 56$ $15 \times 3 = 45$ $16 \times 1 = 16$   Donc : $80+66+24+13+56+45+16=300$   Ainsi : $\bar{x}=\frac{300}{25}$ $\bar{x}=12$   Donc la moyenne arithmétique est : $\boxed{12}$

1.a) Une fonction linéaire s’écrit sous la forme : $f(x)=ax$ On sait que : $f(2)=-1$ Donc : $2a=-1$ $a=-\frac{1}{2}$ Le coefficient de la fonction est donc : $\boxed{-\frac12}$

1.b) Puisque \(a=-\frac12\), alors : $f(x)=-\frac12x$

1.c) La représentation graphique est une droite passant par : $O(0,0)$ et le point : $A(2,-1)$ On trace la droite \((\Delta)\) passant par ces deux points.

2.a) Graphiquement, lorsque : $x=3$ on lit : $g(3)=-2$ Donc : $\boxed{g(3)=-2}$

2.b) On cherche le nombre dont l’image est 2. Graphiquement, la droite passe par le point : $(1,2)$ Donc : $\boxed{g(1)=2}$

2.c) La droite passe par : $(0,4) \quad et \quad (2,0)$ Le coefficient directeur est : $a=\frac{0-4}{2-0}=-2$ Donc l’équation de la fonction est : $g(x)=-2x+4$ Ainsi : $\boxed{g(x)=-2x+4}$

1) Le volume d’une pyramide est : $$V=\frac13 \times Aire_{base} \times hauteur$$ La base est un carré de côté : $$AB=6cm$$ Donc : $$Aire_{base}=6^2=36cm^2$$ Or : $$216=\frac13 \times 36 \times SA$$ $$216=12SA$$ $$SA=\frac{216}{12}=18cm$$ Ainsi : $$\boxed{SA=18cm}$$

2) Dans le carré \(ABCD\) : $$AC=\sqrt{6^2+6^2}$$ $$AC=\sqrt{72}=6\sqrt2$$ Dans le triangle rectangle \(SAC\) : $$SC^2=SA^2+AC^2$$ $$SC^2=18^2+(6\sqrt2)^2$$ $$SC^2=324+72$$ $$SC^2=396$$ $$SC=6\sqrt{11}cm$$ Donc : $$\boxed{SC=6\sqrt{11}cm}$$

3.a) Le rapport de réduction est : $$k=\\sqrt[3]{\\frac{8}{216}}$$ $$k=\\sqrt[3]{\\frac{1}{27}}$$ $$k=\\frac13$$ Ainsi : $$\\boxed{k=\\frac13}$$

3.b) On sait que : $$SE=k \\times SA$$ Donc : $$SE=\\frac13 \\times 18$$ $$SE=6cm$$ Ainsi : $$\\boxed{SE=6cm}$$