binvenue dans votre site des mathematique en francais ce cour est pour les prof de lycee et pour nos elèves de 2 bac svt et 2bac pc ,cour continuité realisé par profs : Réaliser par : P.Mohamed OUTIDIR lycée el wourod kalaat megouna (un grand merci a notre prof) modifié par prof. elmoudene hassan

I. La continuité  1) La continuité en un point « Activités et cours et exemples. ≡

Activité :

Soit f  et g  les
fonctions définies sur (D_{f} et D_{g})  par :

[left{begin{matrix} f(x)=frac{ x^2-1 }{x-1} ; x neq 1 \f(1)=2& end{matrix}right. et ; left{begin{matrix} g(x)=frac{x^2+x}{x} ; xneq1\g(0)=0 end{matrix}right.]

1. Calculer (lim_{xrightarrow 1}f(x)) puis comparer le résultat avec ( f(1) ) .
2. Calculer (lim_{xrightarrow 0}g(x)) puis comparer le résultat avec ( g(0) ) .
3. Que
   déduisez-vous ?

Définition :

Soit  une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert ( I)  et soit ( x_0)  un élément de ( I). La fonction ( f)  est continue en ( x_0) si et seulement si (lim_{xrightarrow x_0}f(x) = f(x_0))  .

Exemple :

Soif

 la fonction numérique définie par : 

[left{begin{matrix} h(x)=xsin x ; x neq 0 \h(0)=0& end{matrix}right.]

Etudier la continuité
de ( h) au point d’abscisse ( x_0 = 0).

Exercice d’application :

Soit

 la fonction numérique suivante qui vérifie : 

[left{begin{matrix} f(x)=frac{ cos x -xsin (3x) -1 }{x^2} ; x neq 0 \f(0)=-frac{7}{2}& end{matrix}right.]

• Etudier la continuité de ( f) au point d’abscisse ( x_0 = 0).

2. La continuité à droite ( x_0+ )  d’une fonction et sa continuité à gauche ( x_0- )  en un point donné ( x_0 ) : ≡

Définition :

Soit  une fonction numérique à variable réelle définie sur un intervalle du type , avec . §  On dit que  est continue à droite en ( x_0 = 0)  si  (lim_{xrightarrow x_0+}f(x) = f(x_0)) Soit  une fonction numérique à variable réelle définie sur un intervalle du type , avec . §  On dit que  est continue à gauche en ( x_0 = 0)  si  (lim_{xrightarrow x_0-}f(x) = f(x_0)).  » ( x_0+ ) signifie que (x> x_0 ) et ( x_0- ) signifie que (x< x_0 ) «

Exemple :

Soit ( g ) la fonction numérique définie sur (mathbb{R} ) 

 par :

[left{begin{matrix} g(x)=x^2+1 ; si; xgeqslant 1 \ g(x)=x+ frac{1 }{x-1} ;si; 0<x<1 \ g(x)=x+1 ;si; xleqslant0 end{matrix}right.]

Etudier la continuité
de la fonction ( g ) à droite en 1 et à gauche en 0.

L’interprétation
géométrique :

Propriété :

Soit f une fonction numérique à variable réelle définie sur un intervalle ouvert I et  ( x_0 in I ). La fonction  est continue en ( x_0 ) si et seulement si  est continue à droite et à gauche en ( x_0 ). c-à-d :  (lim_{xrightarrow x_0+}f(x) = f(x_0))et(lim_{xrightarrow x_0-}f(x) = f(x_0) Leftrightarrow lim_{xrightarrow x_0}f(x) = f(x_0))   .

Exercices d’applications : « sur La continuité en ( x_0 ),( x_0 )et ( x_0 ) (trois exercices)  «  ≡

Exercice d’application 01 :

Soit ( f ) la fonction numérique définie par :

[left{begin{matrix} f(x)=frac{|x|}{x} ;; xneq0 \f(0)=-1 end{matrix}right.]

1. Etudier la continuité de ( f ) en 0.
2. Tracer la courbe de la fonction ( f ) dans un repère orthonormé.

Exercice d’application 02:

Soit ( f ) la fonction numérique définie par  : 

[left{begin{matrix} f(x)=frac{ sqrt{1+sin x}-1}{x} ;; x<0 \f(0)=sqrt{1+x}-frac{1}{2} ;; xgeqslant 0 end{matrix}right.]

Etudier la continuité
de la fonction ( f ) en 0.

Exercice d’application 03:

Soient ( a ; et ; b ) deux nombres réelles non nuls et

 la fonction numérique ( f ) définie par :

[left{begin{matrix} f(x)=ax+5b-a ;;; x>0 \f(0)=frac{sin ax}{bx} ;;; x<0 \f(0)=4 end{matrix}right.]

• Déterminer ( a ; et ; b ) sachant que la fonction ( f ) est continue en ( 0 ).

La fonction ( f ) est continue sur l’intervalle ouvert (left ] a ; b right [ ) , si ( f ) est continue en tout points de (left ] a ; b right [ ) . La fonction  ( f ) est continue sur l’intervalle (left [ a ; b right [ ) ,si ( f ) est continue sur l’intervalle (left ] a ; b right [ ) et continue à droite en  (alpha).

Remarque :

De même, on définit la continuité de sur les intervalles du type :
(left ] a ; b right ] ;,; left [ a ; b right ]  ;,; left ] a ;  +infty  right [ ;,; left [ a ;  +infty  right [;,; left ] -infty  ; b right [;,; left ] -infty  ; b right ]  )

Géométriquement : si ( f ) est continue sur l’intervalle (left [ a ; b right ] ) , on peut tracer la courbe (  (C) )  sans lever le crayon.

Si ( f ) est continue sur un intervalle (  I ) , alors ( f ) est continue sur tout intervalle inclus dans (  I ) .

4.   
Fonction
partie entière  définition + Exemple pour comprendre.

Définition :

La fonction partie entière est la fonction définie sur (mathbb{R} ) qui à tout réel  associe l’entier relatif  tel que : (nleqslant x< n+1) . On note ( E  ) cette fonction.

Exemples :

( E(2,3)=2 ; ;;  E(5,1)=5 ;;; E(-7,5)=-8 ;;; E(-17,2)=-18 ;;; E(10)=10  )

Conséquences :

Soit , on a : La fonction partie entière est continue à droite en ( n ) et non continue à gauche en( n ). La fonction partie entière est continue sur l’intervalle (left [ n ; n+1 right [ ) . La fonction partie entière est non continue en ( n ).