Les nombres complexes $x$ 2Bac SP & SVT 1) Résolution des équations du second degré à une inconnue dans $\mathbb{C}$ : Les racines carrées d’un nombres réel dans $\mathbb{C}$ L’équation $az^2 + bz + c = 0$ dans $\mathbb{C}$ 2) Notation exponentielle : La forme exponentielle d’un nombre complexe Propriétés Formules d’Euler 3) Représentation complexe d’une rotation : résolution des équations du second degré à une inconnue dans $\mathbb{C}$ Les racines carrées d’un nombres réel dans $\mathbb{C}$ L’équation $az^2 + bz + c = 0$ dans $\mathbb{C}$ 1) Résolution des équations du second degré $az^2 + bz + c = 0$ à une inconnue dans $\mathbb{C}$ Définition : Soit a un nombre réel. On dit que le nombre complexe Z est une racine carrée de a si $Z^2 = a$. Propriété : Tout nombre réel non nul admet deux racines carrées dans $\mathbb{C}$. Si a > 0 les deux racines carrées sont : $\sqrt{a}$ ; et ; $-\sqrt{a}$. Si a < 0 les deux racines carrées sont : $i\sqrt{a}$ ; et ; $-i\sqrt{a}$. Exemple : Les racines carrées de 3 sont : $\sqrt{3}$ ; et ; $-\sqrt{3}$. Les racines carrées de -5 sont : $i\sqrt{5}$ ; et ; $-i\sqrt{5}$. Théorème : On considère l’équation (E) : $az^2 + bz + c = 0$ dans C avec a ; b ; c des nombres réels et $a \neq 0$ [ $\Delta = b^2 - 4ac$ ] Si $\Delta = 0$ l’équation (E) admet une unique solution : $Z_0 = \frac{-b}{2a}$. Si $\Delta > 0$ l’équation (E) admet deux solutions réels : $Z_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $Z_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$. Si $\Delta < 0$ l’équation (E) admet deux solutions complexes conjuguées : $Z_1 = \frac{-b - i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ et $Z_2 = \frac{-b + i\sqrt{-\Delta}}{2a}$. Remarques : Si $\Delta = 0$ Alors $az^2 + bz + c = a(z + \frac{b}{2a})^2$ Si $\Delta \neq 0$ Alors $az^2 + bz + c = a(z - z_1)(z - z_2)$ Si $\Delta > 0$ Alors $z_1z_2 = \frac{c}{a}$ et $z_1 + z_2 = -\frac{b}{a}$ Exemples et Applications : $z^2 + z + 1 = 0$ $z^2 - 4z + 29 = 0$ $z^2 - 2z + 4 = 0$ $z^2 - 2(\sqrt{2}+\sqrt{6})z + 16 = 0$ 2) Notation exponentielle d'un nombres complexe ( z) Soit $\theta \in \mathbb{R}$ , On note par $e^{i\theta}$ tout nombre complexe de module 1 et d’argument $\theta$ $e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)$ Exemples : $\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i = e^{i\pi/3}$ $i = e^{i\pi/2}$ Propriété : $|e^{i\theta}| = 1$ $e^{i\theta} e^{i\theta'} = e^{i(\theta+\theta')}$ $e^{i\theta} / e^{i\theta'} = e^{i(\theta-\theta')}$ $(e^{i\theta})^n = e^{in\theta}$ Formule de Moivre : $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$ Forme exponentielle : $z = r e^{i\theta}$ Formules d’Euler : $\cos(\theta) = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$ $\sin(\theta) = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$ 3) Représentation complexe d’une rotation $z' = e^{i\theta}(z - \omega) + \omega$ Exercice : $\omega = 1 - i$ $\theta = \frac{\pi}{6}$ $z_A = 2 + i$