Série Exercices 1 sur les nombres complexes Partie 1 2bac pc et 2bac svt

Exercices sur les nombres complexes Partie 1 2bac pc et 2bac svt

Exercice 1 :  Formes algébrique ,trigonométrique ,conjugué,point alignés
…..

1. Écrire sous la forme algébrique les nombres suivants : [Z_1 = (3 – 5i) +
   i(2 – i) ; et ; Z_2 =frac{2 + i}{3i – 1}]
2. Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de chacun des nombres
   suivants :    [ A = 3i – 5 ;;; B = 4i + 2 – isqrt{2}]
3. Développer : (Z_2 = (4 – i)² + (-2 + 3i)² )
4. Déterminer le conjugué du nombre : (Z_3 = -8i – 1)
5. Résoudre dans mathbb{C} l’équation ((2 – i)bar{Z}) = 2 +
   3i).
6. Calculer le module de chacun des nombres suivants : [A = 2 – isqrt{3}
   ;;; B = 5 – isqrt{3} ;;; C = -317 ;;; D = -25i^{35}]
7. Soit (xin mathbb{R}) . Déterminer (x) pour que ce nombre soit un
   réel : [Z = (x + i)[x + 5 – i(x – 7)]]
   
8. Montrer que les points (A(6 – i);,; B(-6 + 3i);et; C(-18 + 7i)
   ;sont; alignés) .
9. Montrer que les points (A(1 + i);,; B(3 – i);et;C(4 – 2i) ;sont;
   alignés) .
   Montrer que les points suivants sont cocycliques : [A(1
   – 3i) ;,; B(-1 + i) ;,;C(2) ;et; D(-2)]
10. Montrer que les points suivants sont cocycliques. [A(3 + 4i) ;,; B(2 +
    i) ;,; C(5 + 4i) ;et; D(6 + 3i)]
11. Résoudre dans C l’équation : (2Z + ibar{Z} = 5 – 4i)
12. Dans le plan complexe ; on considère [A(4sqrt{3}+ 4i); et;
    B(4sqrt{3}- 4i)] a) Donner la forme trigonométrique de [Z_A ;et;
    Z_B] b) Calculer les distances OA et OB et AB Quelle est la nature du
    triangle ABO .
13. On considère les trois nombres complexes 

[Z_1=1+ i ;et; Z_2=sqrt{3}+i ;et; Z=frac{Z_1}{Z_2}]

• a) Écrire sous la forme trigonométrique (Z_1) et (Z_2 ;et; Z)
  .
• b) Déduire la valeur de
  (cos(frac{pi}{12});et;sin(frac{pi}{12}))

Exercice 2 :forme algébrique et forme trigonométrique des nombres complexes

1. Donner la forme algébrique les nombres complexes suivants (Z_1; ,; Z_2;et; Z_3 )[Z_1 = (2 – i)(4 +frac{3}{2}i); ;; Z_2 =frac{2}{3 + 2i} \ Z_3
   =frac{3 – 2i}{2 + i} ;et;Z_4 =frac{2i}{3 – i}+frac{(1 –
   2i)²}{i}]
2. Donner la forme trigonométrique les nombres complexes suivants (Z_1; ,; Z_2;et; Z_3 )   :[Z_1 = -1 – isqrt{3} ;et; Z_2 = -3 + 3i \ Z_3 = 2sqrt{3} – 2i
   ;et; Z_4 = 2 + 2i]

Exercice 3 : polynômes dans l’ensemble ( mathbb{C} )

Soit dans C le polynôme : (P(Z) = -Z^3 + 3Z^2 – 7Z + 5) .
1. Prouver
que (bar{P(Z)} = p(bar{Z}))
2. Vérifier que (1 + 2i)  est une
racine de (P(Z)) puis déduire une autre racine.

Exercice 4 : Ensemble des points dans ( mathbb{C} )

Soit (Z_2inmathbb{C}) Déterminer l’ensemble de points (M(Z)) du plan
complexe tels que (frac{Z- i }{Z + 1}inmathbb{R}).

1. Soit (Z_1 =sqrt{3}+1+i(sqrt{3}-1) ;et; Z_2
=sqrt{3}-1+i(sqrt{3}+1))
Montrer que : (Z_1^{2} = 4(sqrt{3} + i);
et ;que ;Z_2 = ibar{Z_1})
2. a) Écrire sous la forme trigonométrique
: 4(sqrt{3} + i)
b) Déduire la forme trigonométrique de : (Z_1 ;et;
Z_2) .
3. On considère les points (A(Z_1); et ; B(Z_2))

Calculer (arg(frac{Z_1}{Z_2}))
déduire que le triangle (OAB)
est équilatéral.

Soient : (Z_0 = 1 – i )