Série d’exercices sur Les fonctions Logarithmes 2bac svt et 2bac pc fr maths ,site mathsbiof
Afficher le cours ▼
Cette série d’exercices est pour les élèves de 2bac international option PC et option SVT sur les fonction logarithmes elle contient 3 exercices très importantes pour préparer a l’examen national .
Exercice 01 : Ensemble de définition ,limite en (+ infty ) ,calcule ( f'(x) ),calcule de fonction réciproque, construction de ( C_f ) et ( C_{f^{-1}} ) dans un repère ((O;vec{i};vec{j})).
Soit f la fonction numérique définie par :
$\begin{cases}
f(x)= \frac{x \ln(x)}{1+\ln(x)} \quad ; x>0 \\
f(0)=0
\end{cases}$
1) Montrer que: $D_f = [0, e^{-1}[ \cup ]e^{-1}, +\infty[$.
Calculer les limites de (f) aux bornes (D_f).
2) Etudier la continuité de f à droite en 0.
3) Calculer $\lim_{x \to +\infty}\frac{f(x)}{x}$ puis interpréter le résultat.
4) Etudier les branches infinies de $(C_f)$.
5) Montrer que: $\forall x \in D_f ; f'(x)=\frac{\ln^2(x)+\ln(x)+1}{(1+\ln(x))^2}$
6) a) Démontrer que: $\forall x \in D_f ; f »(x)=\frac{\ln^2(x)-1}{x(1+\ln(x))^2}$
7) Soit $g$ la restriction de $f$ sur $] \frac{1}{e}, +\infty[$
—
Exercice 02 :
I- On considère la fonction g définie sur $[0,+\infty[$ par:
$g(x)=\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{1+x}$
1) Calculer $g'(x)$ puis étudier les variations.
II- Soit f définie par:
$\begin{cases}
f(x)= x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right) \quad ; x>0 \\
f(0)=0
\end{cases}$
3) a) Montrer que: $\lim_{x \to +\infty} f(x)=1$
4) a) Montrer que $f'(x)=g(x)$
5) Tangente en $x_0=\frac{1}{1-e}$
III- Suite:
$\begin{cases}
0
