Exercices sur Les suites numériques 2bac fr maroc

1. 
   a) Montrer par récurrence que  (u_n>5) pour tout entier
   naturel  (n)
   b)  Vérifier que
   (u_{n+1}-u_n=frac{-1}{4}(u_n-5))  pour tout entier naturel
   (n)  puis montrer que la suite  ((u_n )) est décroissante.

   c) En déduire que la suite  ((u_n )) est convergente.
   

2. 
   Soit ((v_n )) la suite numérique telle que :     
   (v_n=u_n-5) pour tout entier naturel (n)
   a) Montrer que ((v_n
   ))  est une suite géométrique de raison (frac{3}{4}) puis
   écrire ((v_n )) en fonction de (n) 
   b)Montrer que ( u_n
   = 5+2{(frac{3}{4})}^n ) pour tout entier naturel (n), puis
   déterminer la limite de la suite (n) 
   c)Déduire la limite
   de la suite (w_n ) définie par: ( w_n = ln⁡(u_n-4) ) pour tout entier
   naturel  (n)
   
3. 
   Déterminer la plus petite valeur de l’entier naturel (n) pour laquelle
   (u_n<5,001)
   

1. a) Montrer par récurrence que ( 1<u_n<3 ) pour tout ( n in
   mathbb{N})   
   b) Vérifier que
   (u_{n+1}-u_n=frac{(1+u_n )(3-u_n )}{6+u_n })  pour tout  (
   n in mathbb{N}), puis montrer que la suite  (u_n ) est
   croissante 
   c) En déduire que la suite  (u_n ) est
   convergente.
2. Soit (v_n )la suite numérique telle que :     (
   v_n=frac{ u_n -3 }{ u_n +1} ) pour tout  ( n in mathbb{N})
   
   a) Montrer que (v_n ) est une suite géométrique de raison
   (frac{5}{9}) puis écrire (v_n ) en fonction de ( n)
   b)
   Montrer que ( u_n =
   frac{3-frac{1}{3}(frac{5}{9})^n}{3+frac{1}{3}(frac{5}{9})^n}) pour
   tout n de  IN , puis déterminer la limite de la suite (u_n)
   
   c) Déduire la limite de la suite {w_n } définie par: 
   (  w_n = (u_n-2)e^{u_n } ) pour tout n de  IN
3. a) Montrer que ( 3-u_{n+1} < frac{5}{7}(3-u_n) ) pour tout ( n
   in mathbb{N})  
   b) En déduire que  ( 0 < 3-u_n < {(frac{5}{7})}^{n}) pour
   tout (n)  de  (mathbb{N} ) 
   c)  Retrouver
   la limite de la suite (u_n )

Exercice 03: EXERCICE DE SYNTHÈSE  (partie 1: ;f(x) = x
ln⁡( x+1);partie 2:; (u_{n+1} = u_n ln⁡( u_n+1)  )
)

On considère la fonction numérique f définie sur ( [0,+∞[  ) par
:  ( f(x) = x ln⁡( x+1))
Partie I :
Déterminer (f'(x)) , pour tout  (x) de ( [0,+∞[ 
) puis déduire que f est croissante sur ( [0,+∞[  )
Étudier
la continuité de f sur ( [0,+∞[  )
Déterminer ( f([0,e-1])
)
Montrer que f(x)≤x, pour tout x de  ( [0,+∞[  )
Partie II :
Soit (u_n ) la suite numérique définie par :  ( u_0=1 ) 
 et  (u_{n+1} = u_n ln⁡( u_n+1)  ) pour tout n de IN
Montrer
par récurrence que ( 0 ≤ u_n ≤ e-1 )  pour tout   ( n
in mathbb{N})
Montrer que la suite (u_n ) est décroissante et en
déduire qu’elle est convergente.
Déterminer la limite de la suite (u_n
)
Question :
On considère la suite (u_n ) définie par :
(  u_n = frac{7^n+3^n}{7^n-3^n }  ) pour tout entier naturel
(n)
Déterminer la limite de la suite (u_n )