Problème 1 : Étude de la fonction ≡

On considère la fonction numérique \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :

Soit \((C_f)\) la courbe représentative de \(f\) dans un repère orthogonal \((O,\vec{i},\vec{j})\) avec :

a) Vérifier que :

pour tout \(x\in\mathbb{R}\).

b) Calculer :

puis déduire une branche infinie de \((C_f)\) au voisinage de \(+\infty\).

a) Montrer que la droite \((D)\) d’équation :

est asymptote à la courbe \((C_f)\) au voisinage de \(-\infty\).

b) Étudier la position relative de la courbe \((C_f)\) et la droite \((D)\).

a) Montrer que :

pour tout \(x\in\mathbb{R}\).

b) Dresser le tableau de variations de \(f\).

c) En déduire que :

pour tout \(x\in\mathbb{R}\).

d) Montrer qu’il existe un unique réel :

tel que :

a) Montrer que :

pour tout \(x\in\mathbb{R}\).

b) Montrer que la courbe \((C_f)\) admet un unique point d’inflexion à déterminer.

a) Résoudre dans \(\mathbb{R}\) :

b) En déduire qu’il existe un unique point \(A\) de la courbe \((C_f)\) dont la tangente est parallèle à :

Construire dans le même repère :

• la droite \((D)\)
• la courbe \((C_f)\)
• la tangente en \(A\)

(On admet que l’équation \(f(x)=0\) admet une autre solution \(\beta\) telle que :

)

Déterminer graphiquement le signe de \(f\).

a) Montrer que :

b) Calculer, en \(cm^2\), l’aire du domaine plan limité par :

• la courbe \((C_f)\)
• la droite \((D)\)
• l’axe des ordonnées
• la droite \(x=\ln(2)\)

Problème 2 : Étude de fonctions et suite numérique ≡

Partie I et II : Étude des fonctions :

avec :

Partie III : Suite numérique :

Partie I ≡

Soit \(g\) définie sur \(]0,+\infty[\) par :

Calculer :

En déduire le signe de \(g\).