Résumé : Les Nombres Complexes
1. L’ensemble des nombres complexes
| Définition | $\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$ $i^2=-1$ Tout nombre complexe s’écrit : $z=a+ib$ |
| Forme algébrique | $z=a+ib$ où : $Re(z)=a$ $Im(z)=b$ |
| Imaginaires purs | $i\mathbb{R}=\{iy\mid y\in\mathbb{R}\}$ |
| Caractérisations | $z\in\mathbb{R}\iff Im(z)=0$ $z\in i\mathbb{R}\iff Re(z)=0$ |
Exemple :
$z=5-2i$
Alors :
$Re(z)=5$
$Im(z)=-2$
2. Égalité et opérations
| Égalité | $z=z’ \iff a=a’ \text{ et } b=b’$ |
| Somme | $z+z’=(a+a’)+i(b+b’)$ |
| Produit | $zz’=(aa’-bb’)+i(ab’+a’b)$ |
| Inverse | $\frac1z=\frac{a}{a^2+b^2}-i\frac{b}{a^2+b^2}$ |
| Quotient | $\frac{z}{z’}=\frac{aa’+bb’}{a’^2+b’^2}+i\frac{a’b-ab’}{a’^2+b’^2}$ |
Exemple :
$z=1+3i$
$z’=2-i$
Alors :
$zz’=5+5i$
3. Représentation géométrique
| Affixe d’un point | $M(x,y) \leftrightarrow z_M=x+iy$ |
| Milieu | $z_I=\frac{z_A+z_B}{2}$ |
| Barycentre | $z_G=\frac{\alpha z_A+\beta z_B}{\alpha+\beta}$ |
| Alignement | $\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\in\mathbb{R}$ |
Exemple :
$z_A=1+i$
$z_B=5+3i$
Alors :
$z_I=3+2i$
4. Conjugué d’un nombre complexe
| Définition | $\overline z=a-ib$ |
| Somme | $z+\overline z=2Re(z)$ |
| Différence | $z-\overline z=2iIm(z)$ |
| Produit | $z\overline z=a^2+b^2$ |
Exemple :
$z=4-7i$
Alors :
$\overline z=4+7i$
5. Module d’un nombre complexe
| Définition | $|z|=\sqrt{x^2+y^2}$ |
| Produit | $|zz’|=|z||z’|$ |
| Quotient | $\left|\frac{z}{z’}\right|=\frac{|z|}{|z’|}$ |
| Distance | $AB=|z_B-z_A|$ |
Exemple :
$z=6+8i$
Alors :
$|z|=10$
6. Argument d’un nombre complexe
| Définition | $arg(z)\equiv\theta[2\pi]$ |
| Produit | $arg(zz’)=arg(z)+arg(z’)$ |
| Quotient | $arg\left(\frac{z}{z’}\right)=arg(z)-arg(z’)$ |
| Puissance | $arg(z^n)=narg(z)$ |
Exemple :
$z=1+i\sqrt3$
Alors :
$arg(z)=\frac{\pi}{3}$
7. Forme trigonométrique
| Forme trigonométrique | $z=|z|(\cos\theta+i\sin\theta)$ |
| Relations | $x=|z|\cos\theta$ $y=|z|\sin\theta$ |
| Produit | $zz’=[rr’;\theta+\theta’]$ |
| Puissance | $z^n=[r^n;n\theta]$ |
Exemple :
$2(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4})$
8. Équations du second degré
| Équation | $az^2+bz+c=0$ |
| Discriminant | $\Delta=b^2-4ac$ |
| Si $\Delta<0$ | $z_1=\frac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ $z_2=\frac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ |
| Somme | $z_1+z_2=-\frac{b}{a}$ |
Exemple :
$z^2-4z+8=0$
$\Delta=-16$
Donc :
$z_1=2-2i$
$z_2=2+2i$
9. Forme exponentielle
| Définition | $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ |
| Forme exponentielle | $z=re^{i\theta}$ |
| Produit | $e^{i\theta}e^{i\phi}=e^{i(\theta+\phi)}$ |
| Formule de Moivre | $(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)$ |
Exemple :
$e^{i\pi}=-1$
10. Transformations du plan
| Translation | $z’=z+b$ |
| Rotation | $z’=\omega+e^{i\theta}(z-\omega)$ |
| Homothétie | $z’=\omega+k(z-\omega)$ |
Exemple :
$\omega=1+i$
$\theta=\frac{\pi}{6}$
11. Exercices sur les nombres complexes
Exercice 1 : Formes algébrique, trigonométrique et conjugué
- Écrire sous la forme algébrique : $Z_1=(3-5i)+i(2-i)$
- Déterminer : $Re(Z)$ et $Im(Z)$ pour : $Z=4i+2-i\sqrt2$
- Développer : $(4-i)^2+(-2+3i)^2$
- Déterminer le conjugué de : $Z=-8i-1$
- Résoudre dans : $\mathbb C$ l’équation : $(2-i)\overline Z=2+3i$
Exercice 2 : Forme algébrique et trigonométrique
- Donner la forme algébrique de : $Z=\frac{3-2i}{2+i}$
- Donner la forme trigonométrique de : $Z=-1-i\sqrt3$
- Écrire sous forme trigonométrique : $Z=2+2i$
Exercice 3 : Polynômes dans $\mathbb C$
- Soit : $P(Z)=-Z^3+3Z^2-7Z+5$
- Montrer que : $\overline{P(Z)}=P(\overline Z)$
- Vérifier que : $1+2i$ est une racine de : $P(Z)$
Exercice 4 : Ensemble des points
- Déterminer l’ensemble des points : $M(Z)$ tels que : $\frac{Z-i}{Z+1}\in\mathbb R$
Exercice 5 : Triangle et mesure
- Soient : $Z_1=\sqrt3+i$ et $Z_2=-2i$
- Écrire : $Z_1$ et $Z_2$ sous forme trigonométrique
- Calculer : $(Z_1)^{18}$ et $(Z_2)^{18}$
- Montrer que le triangle : $OAB$ est isocèle
Exercice 6 : Applications argument et trigonométrie
- Développer : $(\sqrt2+2i)^2$
- Déterminer la forme trigonométrique de : $Z_1=1-i$
- Montrer que : $Z_1Z_2=\sqrt2\overline{Z_2}$
- Déduire : $arg(Z_1)+2arg(Z_2)\equiv0[2\pi]$
Exercice 7 : Nature d’un triangle
- Soient : $Z_1=\sqrt3+1+i(\sqrt3-1)$
- Montrer que : $Z_1^2=4(\sqrt3+i)$
- Déduire la forme trigonométrique de : $Z_1$ et $Z_2$
- Montrer que le triangle : $OAB$ est équilatéral
Exercice 8 : Ensemble des points et triangle
- Déterminer la nature du triangle : $ABC$
- Déterminer l’ensemble : $|Z_M-Z_C|=|Z_M-Z_B|$
Exercice 9 : Arguments
- Soient : $Z_0=1-i$
- Montrer que : $\frac{Z_2}{Z_0}= -\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}$
- Déterminer un argument de : $\frac{Z_2}{Z_0}$
Exercice 10 : Formes et ensembles
- Déterminer la forme trigonométrique de : $Z_C,Z_D,Z_E$
- Calculer : $(Z_C)^3$ et $(Z_D)^3$
- Déterminer : $|Z_M-Z_C|=|Z_D-Z_E|$
Exercice 11 : Module et argument
- Déterminer le module et un argument de : $\frac{b-a}{c-a}$
- Montrer que : $(AO)$ est la médiatrice de : $[BC]$
- Déduire : $\cos\frac{\pi}{8}$ et $\sin\frac{\pi}{8}$
Exercice 12 : Puissances complexes
- Écrire : $Z_1$ et $Z_2$ sous forme trigonométrique
- Calculer : $(Z_1)^{60}+(Z_2)^{60}$
- Déterminer l’ensemble : $g(Z)\in i\mathbb R$
Exercice 13 : Transformations
- Déterminer la nature des transformations : $Z’=Z-3i$
- $Z’=1-Z$
- $Z’+i=-2(Z+i)$
Exercice 14 : Homothétie et translation
- Donner la représentation complexe d’une translation
- Déterminer l’homothétie de centre : $I(i)$
- Trouver le rapport : $k$
Exercice 15 : Nature d’une transformation
- Soit : $Z’=-5(Z+3i)$
- Déterminer le point invariant
- Déduire la nature de la transformation
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