Série d’exercices sur Les fonctions Logarithmes 2bac svt et 2bac pc fr maths ,site mathsbiof

Cette série d’exercices est pour les élèves de 2bac international option PC et option SVT sur les fonction logarithmes elle contient 3 exercices très importantes pour préparer a l’examen national . Exercice 01 : Ensemble de définition ,limite en (+ infty ) ,calcule ( f'(x) ),calcule de fonction réciproque, construction de ( C_f ) et ( C_{f^{-1}} ) dans un repère ((O;vec{i};vec{j})). Soit f la fonction numérique définie par : $\begin{cases} f(x)= \frac{x \ln(x)}{1+\ln(x)} \quad ; x>0 \\ f(0)=0 \end{cases}$ 1) Montrer que: $D_f = [0, e^{-1}[ \cup ]e^{-1}, +\infty[$. Calculer les limites de (f) aux bornes (D_f). 2) Etudier la continuité de f à droite en 0. 3) Calculer $\lim_{x \to +\infty}\frac{f(x)}{x}$ puis interpréter le résultat. 4) Etudier les branches infinies de $(C_f)$. 5) Montrer que: $\forall x \in D_f ; f'(x)=\frac{\ln^2(x)+\ln(x)+1}{(1+\ln(x))^2}$ 6) a) Démontrer que: $\forall x \in D_f ; f »(x)=\frac{\ln^2(x)-1}{x(1+\ln(x))^2}$ 7) Soit $g$ la restriction de $f$ sur $] \frac{1}{e}, +\infty[$ — Exercice 02 : I- On considère la fonction g définie sur $[0,+\infty[$ par: $g(x)=\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{1+x}$ 1) Calculer $g'(x)$ puis étudier les variations. II- Soit f définie par: $\begin{cases} f(x)= x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right) \quad ; x>0 \\ f(0)=0 \end{cases}$ 3) a) Montrer que: $\lim_{x \to +\infty} f(x)=1$ 4) a) Montrer que $f'(x)=g(x)$ 5) Tangente en $x_0=\frac{1}{1-e}$ III- Suite: $\begin{cases} 0