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on04/18/2021

Série Exercices 1 sur les nombres complexes Partie 1 2bac pc et 2bac svt

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Exercices sur les nombres complexes Partie 1 2bac pc et 2bac svt

 

Exercice 1 :  Formes algébrique ,trigonométrique ,conjugué,point alignés
…..

(Questions indépendantes)
  1. Écrire sous la forme algébrique les nombres suivants : [Z_1 = (3 – 5i) +
    i(2 – i) ; et ; Z_2 =frac{2 + i}{3i – 1}]
  2. Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de chacun des nombres
    suivants :    [ A = 3i – 5 ;;; B = 4i + 2 – isqrt{2}]
  3. Développer : (Z_2 = (4 – i)² + (-2 + 3i)² )
  4. Déterminer le conjugué du nombre : (Z_3 = -8i – 1)
  5. Résoudre dans mathbb{C} l’équation ((2 – i)bar{Z}) = 2 +
    3i).
  6. Calculer le module de chacun des nombres suivants : [A = 2 – isqrt{3}
    ;;; B = 5 – isqrt{3} ;;; C = -317 ;;; D = -25i^{35}]
  7. Soit (xin mathbb{R}) . Déterminer (x) pour que ce nombre soit un
    réel : [Z = (x + i)[x + 5 – i(x – 7)]]
  8. Montrer que les points (A(6 – i);,; B(-6 + 3i);et; C(-18 + 7i)
    ;sont; alignés) .
  9. Montrer que les points (A(1 + i);,; B(3 – i);et;C(4 – 2i) ;sont;
    alignés) .
    Montrer que les points suivants sont cocycliques : [A(1
    – 3i) ;,; B(-1 + i) ;,;C(2) ;et; D(-2)]
  10. Montrer que les points suivants sont cocycliques. [A(3 + 4i) ;,; B(2 +
    i) ;,; C(5 + 4i) ;et; D(6 + 3i)]
  11. Résoudre dans C l’équation : (2Z + ibar{Z} = 5 – 4i)
  12. Dans le plan complexe ; on considère [A(4sqrt{3}+ 4i); et;
    B(4sqrt{3}- 4i)] a) Donner la forme trigonométrique de [Z_A ;et;
    Z_B] b) Calculer les distances OA et OB et AB Quelle est la nature du
    triangle ABO .
  13. On considère les trois nombres complexes 

[Z_1=1+ i ;et; Z_2=sqrt{3}+i ;et; Z=frac{Z_1}{Z_2}]

  • a) Écrire sous la forme trigonométrique (Z_1) et (Z_2 ;et; Z)
    .
  • b) Déduire la valeur de
    (cos(frac{pi}{12});et;sin(frac{pi}{12}))

Exercice 2 :forme algébrique et forme trigonométrique des nombres complexes ≡

  1. Donner la forme algébrique les nombres complexes suivants (Z_1; ,; Z_2;et; Z_3 )[Z_1 = (2 – i)(4 +frac{3}{2}i); ;; Z_2 =frac{2}{3 + 2i} \ Z_3
    =frac{3 – 2i}{2 + i} ;et;Z_4 =frac{2i}{3 – i}+frac{(1 –
    2i)²}{i}]
  2. Donner la forme trigonométrique les nombres complexes suivants (Z_1; ,; Z_2;et; Z_3 )   :[Z_1 = -1 – isqrt{3} ;et; Z_2 = -3 + 3i \ Z_3 = 2sqrt{3} – 2i
    ;et; Z_4 = 2 + 2i]

 

Exercice 3 : polynômes dans l’ensemble ( mathbb{C} ) ≡

Soit dans C le polynôme : (P(Z) = -Z^3 + 3Z^2 – 7Z + 5) .
1. Prouver
que (bar{P(Z)} = p(bar{Z}))
2. Vérifier que (1 + 2i)  est une
racine de (P(Z)) puis déduire une autre racine.

Exercice 4 : Ensemble des points dans ( mathbb{C} )

Soit (Z_2inmathbb{C}) Déterminer l’ensemble de points (M(Z)) du plan
complexe tels que (frac{Z- i }{Z + 1}inmathbb{R}).

Exercice 5 : triangles et mesure dans ( mathbb{C} )

Soient (Z_1 =sqrt{3} + i ;et; Z_2 = -2i)

  1. Écrire (Z_1;et;Z_2) sous la forme trigonométrique.
  2. Calculer ((Z_2)^{18} ;et; (Z_1)^{18}) puis déduire la valeur de
    : ((Z_2)^{18} + (Z_1)^{18}).
  3. Soit le plan complexe rapporté à un repère orthonormé (
    (O;vec{u};vec{u}) )
  4. on considère les points ( A(Z_1) ;et; B(Z_2) ) .
  • a) Montrer que le triangle (OAB) est isocèle.
  • b) Déterminer une mesure de ((vec{OA};vec{OB})) .

Exercice 6 : Application forme trigonométrique ,argument dans ( mathbb{C} ) ≡

1. Développer 🙁 (sqrt{2} + 2i)² )
2. Déterminer la forme
trigonométrique de (Z_1 = 1 – i).
3. Soit (Z_2 = 1
+sqrt{2} + i ) montrer que :(Z_1.Z_2 =sqrt{2}.bar{Z_2})
4.
Déduire que : (arg(Z_1) + 2arg(Z_2)equiv[2pi ])
5. Déterminer un
argument du nombre( Z_2)

Exercice 7 : forme trigonométrique  et nature triangle .  ≡

1. Soit (Z_1 =sqrt{3}+1+i(sqrt{3}-1) ;et; Z_2
=sqrt{3}-1+i(sqrt{3}+1))
Montrer que : (Z_1^{2} = 4(sqrt{3} + i);
et ;que ;Z_2 = ibar{Z_1})
2. a) Écrire sous la forme trigonométrique
: 4(sqrt{3} + i)
b) Déduire la forme trigonométrique de : (Z_1 ;et;
Z_2) .
3. On considère les points (A(Z_1); et ; B(Z_2))

Calculer (arg(frac{Z_1}{Z_2}))
déduire que le triangle (OAB)
est équilatéral.

 

Exercice 8 : Ensemble des ponits et nature triangle . ≡

Soient A ; B ; C quatre points du plan complexe : d’affixes respectifs[
Z_A = 1 ; Z_B = -frac{1}{2}+frac{isqrt{3}}{2}; Z_C =
-frac{1}{2}-frac{isqrt{3}}{2}]
1. Déterminer une mesure de l’angle (widehat{vec{AB};vec{AC}}) ,
Quelle est la nature du triangle (ABC) ? Justifier votre réponse.
2. Déterminer l’ensemble des points (Mr(Z)) tels que : (|Z_M – Z_C|=
|Z_M – Z_B|).
 

Exercice 9 : argument de (frac{Z_1}{Z_2} )

Soient : (Z_0 = 1 – i )

(Z_1= frac{sqrt{3}+1}{2}+ifrac{sqrt{3}-1}{2};et;Z_2=
frac{sqrt{3}-1}{2}+ifrac{sqrt{3}+1}{2})
  1. Montrer que : [ frac{Z_2}{Z_0} = -frac{1}{2}+ ifrac{sqrt{3}}{2} ;et
    ;que; :; Z_1 = ibar{Z_2}]
  2. Déterminer un argument de  (frac{Z_2}{Z_0})  puis
    déduire un argument de  (Z_1)  et un argument de
    (Z_2)  .

Exercice 10 : formes algébrique ,trigonométrique et ensemble des points ≡

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé, on considère les
points :
[ M(Z);C(-1);D(frac{1}{2}-frac{sqrt{3}}{2}i);E(-1 –
isqrt{3})]
1. Déterminer la forme trigonométrique de : ( Z_C ; Z_D
;Z_E )
2. a) Déduire la forme trigonométrique de : ( (Z_C)^{3} ;
(Z_D)^{3} ; (Z_E)^{3} )
b) Déduire la forme algébrique de : (
(Z_C)^{3} ; (Z_D)^{3} ; (Z_E)^{3} )
3. Montrer que :
(overline{(vec{DC};vec{DE})} equivfrac{pi}{3}[2pi])

4. Déterminer l’ensemble des points (Mr(Z)) tels que : (|Z_M –
Z_C|= |Z_D – Z_E|).

Exercice 11 : module ,argument et médiatrice d’un segment ≡

Dans le plan complexe on considère les points A et B et C d’affixes
respectifs :
(a = -sqrt{2} ; b = 1 + i ;et; c = 1 – i .)
1. Placer les points A et B et C .
2. Déterminer le module et un argument de ( frac{b – a }{c –
a }) puis déduire une mesure de l ’angle ((vec{AC};vec{AB}))
3. Montrer que (AO) est la médiatrice de [BC] puis déduire que
(overline{(vec{AO};vec{AB})} equivfrac{pi}{8}[2pi])
4. a) Écrire le nombre complexe  ( frac{a-b}{a})
sous la forme trigonométrique et algébrique.
b) Déduire les valeurs de   (cos(frac{pi}{8});et;sin(frac{pi}{8}))

Exercice 12 : formes algébrique ,trigonométrique de ( Z^n) ≡

On pose : ( g(Z) =frac{Z }{Z^2 – 1} )
et on considère : ( Z_1
=frac{-sqrt{3} – i}{2} ; Z_1 =frac{sqrt{3} – i}{2} )

1. Montrer que les points suivants  sont alignés : [ M_1(Z_1) ;
M_2(Z_2) ; N(sqrt{3}-ifrac{1}{2}) ]
2. Écrire sous la forme trigonométrique (Z_1 ;et; Z_2 ) puis calculer
la valeur :
((Z_1)^{60} + (Z_2)^{60} )
3. a) Montrer que : [ forall Z^2neq 1 Leftrightarrow  ;;
g(Z)in ıR , (Z + bar{Z})(|Z|^2 – 1) = 0 ]
b) Déterminer C
l’ensemble de points (M(Z))  tel que (g(Z)) soit un
nombre imaginaire pur.

Exercice 13 : transformations dans  ( mathbb{C} )

Déterminer la nature de chacune des transformations suivantes :

[ Z’ = Z – 3i ;;; Z’ = 1 – Z \ Z’ + i = -2(Z + i) ;;; Z’ = 3Z – 2i ]

Exercice 14 :  homothétie et translation dans  ( mathbb{C} )

Donner la représentation complexe de chacune de transformation
suivantes :
1. T la translation de vecteur :  ( vec{w}(2 +frac{1}{2}i) )
2. h l’homothétie de centre (I(i)) et de rapport (k =
-frac{1}{3}).
3. (h) l’homothétie de centre ( A(1 – i) ) et transforme le
point ( B(-1 – 5i) ) au point ( C(2 + i) )

Exercice 15 : nature d’une transformation dans l’ensemble des nombres
comlexes ( mathbb{C} )

Soit T une transformation dans le plan sa représentation complexe est :
( Z’ = -5(Z + 3i))
1. Montrer qu’il existe un unique point
(w) vérifiant : ( T(M) = M)
2. Vérifier que 🙁  Z’ – w = -5(Z – w))
3. Déduire la nature de la transformation (T) .
Cette série est réalisé par prof Prof: Said AMJAOUCH

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